Suivant : 3 Musique pour cordes, Remonter : 2 Nombre d'Or et Précédent : 2.3 Exemples d'utilisation en

2.4 Suite de Fibonacci

L'irrationalité de $\phi$ fait qu'il est impossible d'obtenir le nombre d'or en divisant deux nombres entiers. Il est toutefois possible d'obtenir un nombre très proche de $\phi$ en choisissant des termes consécutifs de la suite de Fibonacci.

La suite de Fibonacci est formée par les nombres suivants $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots$. Ses deux premiers termes sont $0$ et $1$, tous les autres termes s'obtiennent en additionnant les deux précédents. Son lien avec $\phi$ se déduit en observant le quotient de deux termes consécutifs de cette suite :

$i$	$u_{i+1}/u_i$
$1$	$1/1 = 1$
$2$	$2/1 = 2$
$3$	$3/2 = 1.5$
$4$	$5/3 = 1.666666666\ldots$
$5$	$8/5 = 1.6\ldots$
$6$	$13/8 = 1.625$
$7$	$21/13 = 1.61538461538461538462\ldots$
$8$	$34/21 = 1.61904761904761904762\ldots$
$9$	$55/34 = 1.61764705882352941176\ldots$
$10$	$89/55 = 1.6181818181818181818\ldots$
$11$	$144/89 = 1.61797752808988764045\ldots$
$\ldots$	$\ldots$
$50$	$20365011074/12586269025 = 1.61803398874989484821\ldots$

On remarque qu'en divisant deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, on s'approche de $\phi$. Il est donc possible de s'approcher autant que l'on veut du nombre d'or en prenant deux termes consécutifs suffisamment loin dans cette suite. Si par exemple on prend les nombres de Fibonacci de rang $51$ et $50$, on obtient après division le nombre d'or à $9$ décimales près. Il n'est cependant pas nécessaire d'aller aussi loin dans la suite, en prenant les termes de rang $11$ et $10$, à savoir $89$ et $55$, en obtient après division le nombre d'or à $3$ décimales près. On remarque que comme la section d'Or est l'inverse du nombre d'Or, il suffit pour approcher la section d'Or de permuter dans la division le numérateur et le dénominateur.

Suivant : 3 Musique pour cordes, Remonter : 2 Nombre d'Or et Précédent : 2.3 Exemples d'utilisation en