A..3 Lien avec la suite de Fibonacci

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A..3 Lien avec la suite de Fibonacci

On définit de façon formelle la suite de Fibonacci de la façon suivante : , et $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ . le terme général de est donné par $F_n = \phi^n - \hat{\phi}^n$ (se prouve aisément par récurrence). Cela explique pourquoi $\displaystyle \lim_{n \longrightarrow + \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \phi$ . On le vérifie après avoir constaté que comme $\vert\hat\phi\vert < 1$ , alors $\displaystyle\lim_{n \longrightarrow + \infty} \hat\phi^n = 0$ .

$\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}$ $\displaystyle\frac{\phi^{n+1} - \hat{\phi}^{n+1}}{\phi^n - \hat{\phi}^n}$

$\displaystyle\frac{\phi^{n+1}}{\phi^n - \hat{\phi}^n} - \frac{\hat{\phi}^{n+1}}{\phi^n - \hat{\phi}^n}$

$\sim_{n \longrightarrow + \infty}$ $\displaystyle\frac{\phi^{n+1}}{\phi^n}$

$\phi$

$\displaystyle \frac{F_{n+1}}{F_n}$		$\displaystyle\frac{\phi^{n+1} - \hat{\phi}^{n+1}}{\phi^n - \hat{\phi}^n}$
		$\displaystyle\frac{\phi^{n+1}}{\phi^n - \hat{\phi}^n} - \frac{\hat{\phi}^{n+1}}{\phi^n - \hat{\phi}^n}$
	$\sim_{n \longrightarrow + \infty}$	$\displaystyle\frac{\phi^{n+1}}{\phi^n}$
		$\phi$